[SECCON Beginners CTF 2021] GFM

Github Flavored Markdown

Google Facebook Microsoft

And...?

問題

FLAGの情報を含む行列Mが前後から行列keyをかけることによって隠されてしまいました。Mの情報を取り出したいのですが、与えられている情報は乱数決定に用いられたp、行列key、計算結果のencだけです。


FLAG = b'<censored>'

SIZE = 8
p = random_prime(2^128)
MS = MatrixSpace(GF(p), SIZE)

key = MS.random_element()
while key.rank() != SIZE:
    key = MS.random_element()

M = copy(MS.zero())
for i in range(SIZE):
    for j in range(SIZE):
        n = i * SIZE + j
        if n < len(FLAG):
            M[i, j] = FLAG[n]
        else:
            M[i, j] = GF(p).random_element()

enc = key * M * key

print('p:', p)
print('key:', key)
print('enc:', enc)

output

p: 331941721759386740446055265418196301559
key: [116401981595413622233973439379928029316 198484395131713718904460590157431383741 210254590341158275155666088591861364763  63363928577909853981431532626692827712  85569529885869484584091358025414174710 149985744539791485007500878301645174953 257210132141810272397357205004383952828 184416684170101286497942970370929735721]
[ 42252147300048722312776731465252376713 199389697784043521236349156255232274966 310381139154247583447362894923363190365 275829263070032604189578502497555966953 292320824376999192958281274988868304895 324921185626193898653263976562484937554  22686717162639254526255826052697393472 214359781769812072321753087702746129144]
[211396100900282889480535670184972456058 210886344415694355400093466459574370742 186128182857385981551625460291114850318  13624871690241067814493032554025486106 255739890982289281987567847525614569368 134368979399364142708704178059411420318 277933069920652939075272826105665044075  61427573037868265485473537350981407215]
[282725280056297471271813862105110111601 183133899330619127259299349651040866360 275965964963191627114681536924910494932 290264213613308908413657414549659883232 140491946080825343356483570739103790896 115945320124815235263392576250349309769 240154953119196334314982419578825033800  33183533431462037262108359622963646719]
[ 53797381941014407784987148858765520206 136359308345749561387923094784792612816  26225195574024986849888325702082920826 262047729451988373970843409716956598743 170482654414447157611638420335396499834 270894666257247100850080625998081047879  91361079178051929124422796293638533509  34320536938591553179352522156012709152]
[266361407811039627958670918210300057324  40603082064365173791090924799619398850 253357188908081828561984991424432114534 322939245175391203579369607678957356656  63315415224740483660852444003806482951 224451355249970249493628425010262408466  80574507596932581147177946123110074284 135660472191299636620089835364724566497]
[147031054061160640084051220440591645233 286143152686211719101923153591621514114 330366815640573974797084150543488528130 144943808947651161283902116225593922999 205798118501774672701619077143286382731 317326656225121941341827388220018201533  14319175936916841467976601008623679266 112709661623759566156255015500851204670]
[306746575224464214911885995766809188593  35156534122767743923667417474200538878  35608800809152761271316580867239668942 259728427797578488375863755690441758142  29823482469997458858051644485250558639 137507773879704381525141121774823729991  29893063272339035080311541822496817623 292327683738678589950939775184752636265]
enc: [133156758362160693874249080602263044484 293052519705504374237314478781574255411  72149359944851514746901936133544542235  56884023532130350649269153560305458687  67693140194970657150958369664873936730 227562364727203645742246559359263307899  98490363636066788474326997841084979092 323336812987530088571937131837711189774]
[244725074927901230757605861090949184139  63515536426726760809658259528128105864 297175420762447340692787685976316634653 279269959863745528135624660183844601533 203893759503830977666718848163034645395 163047775389856094351865609811169485260 103694284536703795013187648629904551283 322381436721457334707426033205713602738]
[ 17450567396702585206498315474651164931 105594468721844292976534833206893170749  10757192948155933023940228740097574294 132150825033376621961227714966632294973 329990437240515073537637876706291805678  57236499879418458740541896196911064438 265417446675313880790999752931267955356  73326674854571685938542290353559382428]
[270340230065315856318168332917483593198 217815152309418487303753027816544751231  55738850736330060752843300854983855505 236064119692146789532532278818003671413 104963107909414684818161043267471013832 234439803801976616706759524848279829319 173296466130000392237506831379251781235  34841816336429947760241770816424911200]
[140341979141710030301381984850572416509 248997512418753861458272855046627447638  58382380514192982462591686716543036965 188097853050327328682574670122723990784 125356457137904871005571726686232857387  55692122688357412528950240580072267902  21322427002782861702906398261504812439  97855599554699774346719832323235463339]
[298368319184145017709393597751160602769 311011298046021018241748692366798498529 165888963658945943429480232453040964455 240099237723525827201004876223575456211 306939673050020405511805882694537774846   7035607106089764511604627683661079229 198278981512146990284619915272219052007 255750707476361671578970680702422436637]
[ 45315424384273600868106606292238082349  22526147579041711876519945055798051695  15778025992115319312591851693766890019 318446611756066795522259881812628512448 269954638404267367913546070681612869355 205423708248276366495211174184786418791  92563824983279921050396256326760929563 209843107530597179583072730783030298674]
[   662653811932836620608984350667151180 304181885849319274230319044357612000272 280045476178732891877948766225904840517 216340293591880460916317821948025035163  79726526647684009633247003110463447210  36010610538790393011235704307570914178 284067290617158853279270464803256026349  45816877317461535723616457939953776625]

解説

このプログラムはsageで書かれています。sage?何それおいしいの？って感じですね。Outputを見るとencとkeyは行列であるようです。プログラムの方に戻って見てみるとenc = key * M * key(21行目)の意味は分かりますね？encはkeyとMとkeyを掛けた値(行列積)だということです。ここで今不明なものはMです。Mはなんの行列なのでしょうか。少しさかのぼって13行目から19行目を見ると、どうやらMにFLAGの値を入力しているようです。ここでわかるのはMさえわかればFLAGの値が分かるということです！あとはもう簡単ですね！keyの逆行列を計算し、encの両側から掛けてあげましょう！ちょっと何を言っているかわからない人は行列、逆行列の性質について調べてみてください。
＊私たちはsage上で計算しましたがうまく計算できず、、、、。key = matrix(GF(p), [[...要素...]];と宣言したところうまく動きました。GF(p)にはpの桁数分の計算を保持するのではないでしょうか？(迷推理)(要出典)

p = 331941721759386740446055265418196301559
SIZE = 8
#MS = MatrixSpace(GF(p), SIZE)
#print(MS)
key = matrix(GF(p), [[116401981595413622233973439379928029316,198484395131713718904460590157431383741,210254590341158275155666088591861364763,63363928577909853981431532626692827712,85569529885869484584091358025414174710,149985744539791485007500878301645174953,257210132141810272397357205004383952828,184416684170101286497942970370929735721], [42252147300048722312776731465252376713,199389697784043521236349156255232274966,310381139154247583447362894923363190365,275829263070032604189578502497555966953,292320824376999192958281274988868304895,324921185626193898653263976562484937554,22686717162639254526255826052697393472,214359781769812072321753087702746129144], [211396100900282889480535670184972456058,210886344415694355400093466459574370742,186128182857385981551625460291114850318,13624871690241067814493032554025486106,255739890982289281987567847525614569368,134368979399364142708704178059411420318,277933069920652939075272826105665044075,61427573037868265485473537350981407215], [282725280056297471271813862105110111601,183133899330619127259299349651040866360,275965964963191627114681536924910494932,290264213613308908413657414549659883232,140491946080825343356483570739103790896,115945320124815235263392576250349309769,240154953119196334314982419578825033800,33183533431462037262108359622963646719], [53797381941014407784987148858765520206,136359308345749561387923094784792612816,26225195574024986849888325702082920826,262047729451988373970843409716956598743,170482654414447157611638420335396499834,270894666257247100850080625998081047879,91361079178051929124422796293638533509,34320536938591553179352522156012709152], [266361407811039627958670918210300057324,40603082064365173791090924799619398850,253357188908081828561984991424432114534,322939245175391203579369607678957356656,63315415224740483660852444003806482951,224451355249970249493628425010262408466,80574507596932581147177946123110074284,135660472191299636620089835364724566497], [147031054061160640084051220440591645233,286143152686211719101923153591621514114,330366815640573974797084150543488528130,144943808947651161283902116225593922999,205798118501774672701619077143286382731,317326656225121941341827388220018201533,14319175936916841467976601008623679266,112709661623759566156255015500851204670], [306746575224464214911885995766809188593,35156534122767743923667417474200538878,35608800809152761271316580867239668942,259728427797578488375863755690441758142,29823482469997458858051644485250558639,137507773879704381525141121774823729991,29893063272339035080311541822496817623,292327683738678589950939775184752636265]])
enc = matrix([[133156758362160693874249080602263044484, 293052519705504374237314478781574255411, 72149359944851514746901936133544542235, 56884023532130350649269153560305458687, 67693140194970657150958369664873936730, 227562364727203645742246559359263307899, 98490363636066788474326997841084979092, 323336812987530088571937131837711189774],[244725074927901230757605861090949184139, 63515536426726760809658259528128105864, 297175420762447340692787685976316634653, 279269959863745528135624660183844601533, 203893759503830977666718848163034645395, 163047775389856094351865609811169485260, 103694284536703795013187648629904551283, 322381436721457334707426033205713602738],[17450567396702585206498315474651164931, 105594468721844292976534833206893170749, 10757192948155933023940228740097574294, 132150825033376621961227714966632294973, 329990437240515073537637876706291805678, 57236499879418458740541896196911064438, 265417446675313880790999752931267955356, 73326674854571685938542290353559382428],[270340230065315856318168332917483593198, 217815152309418487303753027816544751231, 55738850736330060752843300854983855505, 236064119692146789532532278818003671413, 104963107909414684818161043267471013832, 234439803801976616706759524848279829319, 173296466130000392237506831379251781235, 34841816336429947760241770816424911200],[140341979141710030301381984850572416509, 248997512418753861458272855046627447638, 58382380514192982462591686716543036965, 188097853050327328682574670122723990784, 125356457137904871005571726686232857387, 55692122688357412528950240580072267902, 21322427002782861702906398261504812439, 97855599554699774346719832323235463339],[298368319184145017709393597751160602769, 311011298046021018241748692366798498529, 165888963658945943429480232453040964455, 240099237723525827201004876223575456211, 306939673050020405511805882694537774846, 7035607106089764511604627683661079229, 198278981512146990284619915272219052007, 255750707476361671578970680702422436637],[45315424384273600868106606292238082349, 22526147579041711876519945055798051695, 15778025992115319312591851693766890019, 318446611756066795522259881812628512448, 269954638404267367913546070681612869355, 205423708248276366495211174184786418791, 92563824983279921050396256326760929563, 209843107530597179583072730783030298674],[662653811932836620608984350667151180, 304181885849319274230319044357612000272, 280045476178732891877948766225904840517, 216340293591880460916317821948025035163, 79726526647684009633247003110463447210, 36010610538790393011235704307570914178, 284067290617158853279270464803256026349, 45816877317461535723616457939953776625]])
i_key = key.inverse()
ans=i_key*enc*i_key
flag = ''
for i in range(SIZE):
    for j in range(SIZE):
        try:
            flag += chr(ans[i][j])
        except:
            break
print(flag)

ctf4b{d1d_y0u_pl4y_w1th_m4tr1x_4nd_g4l0is_f1eld?}